Relations de conjugaison

Définitions

Relation de Descartes

1/p + 1/p' = 1/f

Relation de Newton

x·x' = f2

Grandissement

g = i/o = p'/p = (f+x')/(f+x) = f/x
  = f/(p-f) = x'/f = (p'-f)/f

Calculs

Connaissant la focale et le grandissement, on obtient :

x' = f*g
p' = f*(g+1)
x  = f/g
p  = f*(1/g+1)
D  = f*(g+1/g+2)

Connaissant le grandissement et la distance de l’objet au centre optique, on obtient :

f  = p*g/(g+1)
x' = p*g^2/(g+1)
p' = p*g
x  = p/(g+1)
D  = p*(g+1)

Connaissant la focale et l’allongement, on obtient :

g  = x'/f
p' = x'+f
x  = f^2/x'
p  = f^2/x'+f
D  = x'+f^2/x'+2*f

Connaissant la focale et le tirage, on obtient :

g  = (p'-f)/f
x' = p'-f
x  = f^2/(p'-f)
p  = f*p'/(p'-f)
D  = f*p'/(p'-f)+p’

Connaissant la focale et la distance de l’objet au plan focal image, on obtient :

g  = f/x
x' = f^2/x
p' = f^2/x+f
p  = x+f
D  = f^2/x+x+2*f

Connaissant la focale et la distance de l’objet au centre optique, on obtient :

g  = f/(p-f)
x' = f*p/(p-f)-f
p' = f*p/(p-f)
x  = p-f
D  = f*p/(p-f)+p

Connaissant la focale et la distance de l’objet à l’image, on obtient :

Pour i ≤ o (g ≤ 1) :

g  = D/(2*f)-1-RACINE((D/(2*f))^2-D/f)
x' = D/2-RACINE((D/2)^2-f*D)-f
p' = D/2-RACINE((D/2)^2-f*D)
x  = D/2+RACINE((D/2)^2-f*D)-f
p  = D/2+RACINE((D/2)^2-f*D)

Pour i ≥ o (g ≥ 1) :

g  = D/(2*f)-1+RACINE((D/(2*f))^2-D/f)
x' = D/2+RACINE((D/2)^2-f*D)-f
p' = D/2+RACINE((D/2)^2-f*D)
x  = D/2-RACINE((D/2)^2-f*D)-f
p  = D/2-RACINE((D/2)^2-f*D)

Profondeur de champ

Définitions

Diamètre du cercle de confusion

Exprime la tolérance de netteté, compte tenu du format. La valeur de 0,025 mm est souvent admise pour un format 24 × 36 mm ; cette valeur correspond à la diagonale du format divisé par 1730.

e = √(24²+36²) / 1730 = 0,025

Profondeur de foyer

Limite arrière :

x’1 = e N (g+1)2 / (1 - e/f (g+1) N)

Limite avant :

x’2 = e N (g+1)2 / (1 + e/f (g+1) N)

Profondeur de foyer en fonction de g

Limite arrière :

p’1 = f2 (g+1) / (f - e (g+1) N)

Limite avant :

p’2 = f2 (g+1) / (f + e (g+1) N)

Profondeur de champ en fonction de g

Premier plan net :

p1 = f2 (1/g+1) / (f + e (1/g+1) N)

Dernier plan net :

p2 = si(e f (1/g+1) N < f2 ;
     f2 (1/g+1) / (f - e (1/g+1) N) ; ∞)

Profondeur de champ en fonction de p

Premier plan net :

p1 = p f2 / (f2 + e p N)

Dernier plan net :

p2 = si (e p N < f2 ; p f2 / (f2 - e p N) ; ∞)

Distance et ouverture en fonction des limites de la profondeur de champ

Distance :

p = 2 × p1 × p2 / (p1 + p2)

Ouverture :

N = f2 / e / 2 (p2 - p1) / (p1 × p2)

Distance hyperfocale

h = f2 / (e × N)

Profondeur de champ en fonction de la distance hyperfocale

Premier plan net :

p1 = h × p / (h + p)

Dernier plan net :

p2 = si(p < h ; h × p / (h - p) ; ∞)

Les distances h, p₁ et p₂ sont mesurées à partir du centre optique.

profondeur de champ = p2 - p1

Intensité et flux

Une source lumineuse d’intensité (I) égale à 1 candela (cd) génère dans l’angle solide unité¹ un flux lumineux (Φ) égal à 1 lumen (lm).

¹ Angle solide unité : angle d’un cône ayant pour sommet le centre d’une sphère d’un mètre de rayon et découpant sur celle-ci une calotte sphérique d’un mètre carré de surface ; l’unité de mesure d’un angle solide est le stéradian.

N.B. : Une candela représente approximativement l’intensité lumineuse d’une bougie.

Éclairement

Une surface située à une distance (R) égale à un mètre d’une source lumineuse d’intensité égale à 1 candela reçoit un éclairement (E) égal à 1 lux (lx), soit 1 lumen par mètre carré.

L’éclairement est proportionnel à l’intensité de la source lumineuse et inversement proportionnel au carré de la distance la séparant de celle-ci ; mesuré en un point, l’éclairement d’une surface varie selon son orientation par rapport à la source lumineuse.

La formule permettant de calculer l’éclairement d’une surface est donnée par la relation suivante :

E = I ÷ R2 × cos α

Légende :

• E : éclairement, exprimé en lux (lx)
• I : intensité, exprimée en candelas (cd)
• R : distance de la source lumineuse au point de mesure, exprimée en mètres (m)
• α : angle formé par la surface et la normale à la droite joignant le point de mesure à la source lumineuse

Valeurs de référence :

• 0,001 lux : clair de lune
• 50 000 lux : éclairement moyen par beau temps
• 120 000 lux : Éclairement maximum donné par le soleil au zénith à l’équateur

Luminance

La luminance (L) d’une surface exprime l’intensité de la lumière réfléchie par celle-ci ; la luminance d’une surface dépend de son éclairement (E) et de sa réflectance (r) définie par le rapport lumière réfléchie / lumière incidente.

L’unité légale de mesure de la luminance est la candela par mètre carré (cd/m²) ; la formule permettant de calculer la luminance d’une surface est donnée par la relation suivante :

L = E × r ÷ π

• L : luminance, exprimée en candela par mètre carré (cd/m²)
• E : éclairement, exprimé en lux (lx)
• r : réflectance, exprimée en %

En photographie, la réflectance d’une surface gris neutre est égale à 18%.

Voir aussi : Législation relative à l’éclairement des lieux de travail.

Lumination

La lumination – ou exposition – est égale au produit de l’éclairement par la durée du temps d’exposition.

La lumination s’exprime en lux par seconde (lx-s).

Détermination de l’exposition

En photographie, l’exposition est souvent exprimée par un indice de lumination (IL) déterminant un ensemble de couples de valeurs {ouverture relative, temps de pose} équivalents.

Pour un capteur numérique de sensibilité ISO (S) connue, l’indice de lumination (IL) pour lequel l’exposition sera correcte, peut être estimé à partir de la moyenne des luminances (L) du sujet, ou de son éclairement (E) – compte tenu d’une réflectance (r) égale à 18% pour un « gris neutre » – selon les formules suivantes :

IL = log2 (L × S ÷ K)

IL = log2 (E × S × r ÷ K ÷ π)

Définitions :

• IL : indice de lumination
• S : sensibilité ISO
• L : luminance exprimée en candela par mètre carré (cd/m²)
• E : éclairement, exprimé en lux (lx)
• K : constante d’étalonnage des posemètres, égale à 11,4
• r : réflectance, égale à 18% pour un gris neutre

Le tableau ci-dessous donne, en fonction de l’éclairement ou de la luminance du sujet et de la sensibilité ISO, les indices de lumination correspondants.

Le tableau suivant donne, en fonction des indices de lumination (IL), les couples de valeurs {ouverture relative, temps de pose} équivalents du point de vue de l’exposition.

Exemple : pour un indice de lumination (IL) égal à 13, on obtient les couples équivalents : 1/1000^e de seconde à f:2,8, 1/500^e de seconde à f:5,6, etc.

Résolution

La résolution indique le pouvoir résolvant d’un périphérique de numérisation ou de sortie (imprimante ou écran). La résolution s’exprime en dpi – ou dots per inch (points par pouces). Un pouce est égal à 2,54 cm.

Exemples :

Pouvoir séparateur de l’œil

Le pouvoir séparateur de l’œil (ou pouvoir résolvant) est approximativement égal à une minute d’arc (1/60^e de degré), soit :

• 60 points par degré ou 350 dpi (points par pouce) au  punctum proximum (25 cm), distance minimum d’accommodation permettant de voir une image nette ;
• 300 dpi à 30 cm environ.

Définition

Une image numérique est définie par des pixels. La définition d’une image numérique indique le nombre de pixels qu’elle contient.

Exemple : 1 000 x 1 500 pixels, soit 1 500 000 pixels, soit 1,5 mégapixels.

Relation entre les dimensions, la résolution et la définition d’une image

La relation suivante permet de calculer la définition d’une image connaissant ses dimensions et la résolution de numérisation :

définition (pixels) = 
dimension (cm) ÷ 2,54 × résolution (dpi)

Exemple : une image de format 10 × 15 cm, numérisée à 300 dpi aura une résolution égale à 1182 × 1772 pixels, soit 2 094 504 pixels, soit environ 2 Mégapixels.

La relation suivante permet de calculer la résolution à laquelle il faut numériser une image en fonction de ses dimensions et de la définition souhaitée :

résolution (dpi) = 
définition (pixels) ÷ dimension (cm) × 2,54

La relation suivante permet de calculer des dimensions d’une image connaissant sa définition est la résolution de sortie :

dimension (cm) =
définition (pixels) ÷ résolution (dpi) × 2,54

Bits par pixel

Détermine le nombre de valeurs d’un pixel (niveaux de gris ou couleurs). Pour n bits on obtient 2ⁿ valeurs différentes.

Exemples :

Linéature et niveaux de gris

En impression laser et offset, l’image est tramée ; la restitution des couleurs est obtenue par séparation de l’image en couches – jaune, magenta, cyan, noir – chaque couche faisant l’objet d’un traitement en niveaux de gris ; la restitution des niveaux de gris pour chaque couche est obtenue par variation de la taille du point de trame. Chaque trame est orientée selon un angle caractéristique afin d’éviter le phénomène de moiré.

La linéature exprime la finesse de la trame en lignes par pouce (lpi).

La relation entre le nombre de niveaux de gris, la résolution du périphérique de sortie et la linéature de la trame est établie par l’équation suivante :

nombre de niveaux de gris = 
(résolution du périphérique de sortie (dpi) 
÷ linéature (lpi))2

Le tableau ci-dessous indique les valeurs de linéature courantes utilisées en impression laser ou offset pour restituer au moins 256 niveaux de gris par couche :

Résolution de l’image et linéature

Compte tenu de l’orientation des trames et du calcul d’interpolation nécessaire pour obtenir les points de trame, la résolution de l’image doit être supérieure à la linéature :

• pour une impression offset, il est d’usage de numériser à 300 points par pouce pour une linéature de 150 lignes par pouce (soit une résolution égale au double de la linéature) ;
• pour une impression laser, une résolution de 120 points par pouce pour une linéature de 75 lignes par pouces pourra suffire.

Taille mémoire de l’image

La taille mémoire d’une image numérique est calculée à partir de sa définition et du nombre de bits par pixels :

taille mémoire (octets) = définition (pixels) × nombre de bits par pixel ÷ 8

Exemple : la définition d’une image 10 × 15 cm, numérisée à 300 dpi est égale à 2 Mégapixels environ ; sa taille mémoire sera égale à 2 Mo environ à raison de 8 bits par pixels (photographie en noir et blanc) ou à 6 Mo environ à raison de 24 bits par pixels (photographie en couleur).

Méthodes de compression

JPEG – Joint Photographic Experts Group

JPEG est un algorithme de compression d’images destiné à la compression des photographies numériques. C’est un algorithme de compression avec perte ; il permet de choisir entre différents taux de compression, selon la qualité désirée (plus le taux de compression est élevé, moins la qualité est élevée − et réciproquement). L’algorithme JPEG permet typiquement d’obtenir des taux de compression de l’ordre de 4:1, 8:1, 16:1 et plus.

LZW – Lempel-Ziv & Welch

LZW est un algorithme de compression de données sans perte ; appliqué à des photographies numériques, il permet d’obtenir un taux de compression compris entre 50 et 70% environ.

ZIP

ZIP est un algorithme de compression de données sans perte comparable à LZW ; il permet d’obtenir un taux de compression légèrement supérieur.

Mode couleur

Il existe de nombreux modes couleur adaptés à différents types d’applications :

• CIE XYZ, CIE L*a*b* : modèles colorimétriques de référence ;
• RVB (rouge, vert, bleu) : synthèse additive (scanners, vidéo, photographie…) ;
• CMJN (cyan, magenta, jaune, noir) : synthèse soustractive (imprimerie) ;
• YUV, YCrCb : modèles luminance / chrominance.

Le modèle RVB est utilisé pour l’enregistrement des photographies et l’affichage à l’écran.

Espace couleur

Les espaces couleur RVB les plus utilisés sont :

• sRGB (IEC 61966-2.1) ;
• Adobe RGB (1988) ;
• ProPhoto (RGB).

Formats de fichier

RAW

Désigne un format de prise de vue « propriétaire », spécifique à chaque modèle d’appareil photo. Non recommandé pour l’archivage.

DNG – Digital Negative

Format « propriétaire » (Adobe), mais dont les spécifications sont publiques. Peut être utilisé comme format d’échange et d’archivage de fichiers « RAW ».

TIFF – Tagged Image File Format

Format « propriétaire » (Adobe), mais dont les spécifications sont publiques. Supporte de nombreux modes couleur et de nombreux algorithmes de compression, notamment ZIP et LZW. Peut être utilisé comme format d’échange et d’archivage de fichiers finalisés.

JFIF – JPEG File Interchange Format

Format d’images compressées, utilisé pour la diffusion des images sur le Web. Également utilisé comme format d’enregistrement à la prise de vue.

Le pouvoir séparateur de l’œil

Le pouvoir séparateur de l’œil (ou pouvoir résolvant) est approximativement égal à une minute d’arc (1/60^e de degré), soit environ 60 points par degré ou 350 dpi (points par pouce) au  punctum proximum (25 cm), distance minimum d’accommodation permettant de voir une image nette.

Formule de calcul de la résolution d’une image (en points par pouces) en fonction de la distance d’observation de cette image (en cm) pour un pouvoir séparateur d’une minute d’arc (1/60^e de degré) :

=2,54/distance/TAN(RADIANS(1/60))

Le pouvoir séparateur de l’œil à la distance normale d’observation d’une image

On peut considérer comme « normale » une distance d’observation égale à la diagonale du format, soit par exemple :

• 30 cm pour une photographie de 18 x 24 cm,
• 50 cm pour une photographie de 30 x 40 cm,
• 5 m pour une affiche de 4 x 3 m.

Formule de calcul de la diagonale d’un rectangle :

=RACINE(largeur^2+hauteur^2)

Exprimé en points par pouce, le pouvoir séparateur de l’œil varie en fonction de la distance d’observation ; étant égal à 350 dpi à la distance de 25 cm, il ne sera plus égal qu’à :

• 175 dpi à la distance de 50 cm,
• 18 dpi à la distance de 5 m.

Formule de calcul du pouvoir séparateur de l’œil (en points par pouces) en fonction de la distance d’observation (en cm) :

=350*25/distance

Estimation de la définition d’une image correspondant au pouvoir séparateur de l’œil

Soit par exemple un tirage de 30 x 40 cm ; la distance normale d’observation de ce tirage étant égale à 50 cm et le pouvoir séparateur de l’œil étant égal à 175 dpi à cette distance, la définition de l’image devrait être au moins égale à 5,7 mégapixels.

Formule de calcul de la définition d’une image (en mégapixels) en fonction des dimensions de cette image (en cm) et de la résolution (en points par pouce) :

=largeur*hauteur/2,54^2*résolution^2/10^6

Selon les mêmes calculs, la définition minimum nécessaire devrait être comprise entre 5 mégapixels pour un format 16/9^e et 5,9 mégapixels pour un format carré. Nous retiendrons qu’une définition de 6 mégapixels devrait être suffisante pour l’observation d’une photographie dans des conditions normales d’observation, et ceci quel que soit le format du tirage. Une définition supérieure ne se justifiera que pour permettre d’observer les détails de l’image à une distance plus courte que la distance normale d’observation.

Définition d’une image pour l’impression

Les images sont la plupart du temps imprimées à 300 dpi ; cette résolution correspond approximativement au pouvoir séparateur de l’œil à la distance de 30 cm. Pour la préparation d’une image en vue d’une impression, on pourra procéder au redimensionnement de celle-ci par interpolation, en prenant soin de choisir une méthode d’interpolation de type bicubique. À titre indicatif, le tableau ci-dessous donne la définition qu’on obtiendra pour une impression à 300 dpi pour les formats les plus courants :

Nous pouvons retenir…

La distance normale d’observation d’un tirage de 18 x 24 cm est égale à 30 cm environ (distance correspondant à la diagonale du format) ; à cette distance, le pouvoir résolvant de l’œil est égal à 300 dpi environ. À cette même résolution d’impression, la définition de l’image sera égale à 6 mégapixels. Toute photographie devrait pouvoir être « lisible » dans ce format.

Voir aussi mon cours de photographie